Китайские математики восполнили пробел в исследовании нормализованных решений нелинейного уравнения Дирака

Профессор Цзи Чао и его аспирант Хэ Чжэньтао из Восточно-Китайского университета науки и технологий впервые систематически изучили существование нормализованных решений нелинейного уравнения Дирака с локальной нелинейностью на некомпактных метрических графах. Их работа, опубликованная в «Журнале чистой и прикладной математики», восполняет пробел в существующей литературе по данной теме и предоставляет новую математическую основу для понимания динамики релятивистских частиц в структурах метрических графов.

Исследование нелинейного уравнения Дирака на метрических графах предлагает новые математические модели для квантовых сетей и низкоразмерных наноматериалов, таких как графен. В отличие от хорошо изученного нелинейного уравнения Шрёдингера, вопрос о нормализованных решениях для уравнения Дирака оставался открытым. Учёные преодолели ключевые трудности, включая отсутствие преобразования Фурье на графах и сильную неопределённость функционала энергии, используя методы возмущений и конструируя специальные пробные функции.

Работа не только доказывает существование нормализованных решений при малых коэффициентах нелинейности в докритическом по массе случае, но и с помощью теории графов и спектральной теории операторов раскрывает влияние геометрической структуры метрического графа на существование решений. Кроме того, исследователи установили достаточные условия существования решений для произвольных ненулевых коэффициентов нелинейности в докритическом случае, а также в сверхкритическом по массе случае, что расширяет теоретические границы применимости модели.